Помогите вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте.
Помогите вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте.
Для вычисления объема тела, ограниченного заданными поверхностями, необходимо найти точки пересечения этих поверхностей и построить трехмерную фигуру, ограниченную этими поверхностями.
- Найдем точки пересечения поверхностей:
- Пересечение поверхности z = 1 – х2 – у2 и y = x: 1 – x2 – x2 = 1 – 2x2 = 0 2x2 = 1 x2 = 1/2 x = ±√(1/2) y = ±√(1/2) z = 1 – (1/2) – (1/2) = 0
Таким образом, точки пересечения поверхностей z = 1 – х2 – у2 и y = x: (±√(1/2), ±√(1/2), 0).
- Пересечение поверхности z = 1 – х2 – у2 и y = 0: 1 – x2 – 0 = 0 x2 = 1 x = ±1 y = 0 z = 1 – 1 – 0 = 0
Таким образом, точки пересечения поверхностей z = 1 – х2 – у2 и y = 0: (±1, 0, 0).
- Найдем точки пересечения поверхностей:
- Пересечение поверхности х2 + у2 = 18 и y = x: x2 + x2 = 18 2x2 = 18 x2 = 9 x = ±3 y = ±3 z = 0
Таким образом, точки пересечения поверхностей х2 + у2 = 18 и y = x: (±3, ±3, 0).
- Пересечение поверхности х2 + у2 = 18 и y = 0: x2 + 0 = 18 x2 = 18 x = ±√18 y = 0 z = 0
Таким образом, точки пересечения поверхностей х2 + у2 = 18 и y = 0: (±√18, 0, 0).
- Построим трехмерную фигуру, ограниченную этими поверхностями:
Трехмерная фигура будет представлять собой объединение двух фигур: фигуры, ограниченной поверхностями z = 1 – х2 – у2, y = x и y = 0, и фигуры, ограниченной поверхностями х2 + у2 = 18, y = x и y = 0.
Объем каждой из этих фигур можно вычислить с помощью интегралов. Однако, для данной задачи, можно воспользоваться геометрическим методом вычисления объема.
Объем фигуры, ограниченной поверхностями z = 1 – х2 – у2, y = x и y = 0, равен половине объема полного цилиндра радиусом 1 и высотой 1, так как эта фигура симметрична относительно плоскости z = 0.
Объем фигуры, ограниченной поверхностями х2 + у2 = 18, y = x и y = 0, равен половине объема полного цилиндра радиусом √18 и высотой 6, так как эта фигура симметрична относительно плоскости z = 0.
Таким образом, объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте, равен сумме объемов этих двух фигур:
V = (1/2) π 1^2 1 + (1/2) π (√18)^2 6 V = (1/2) π 1 + (1/2) π 18 6 V = (1/2) π + 9π V = (1/2 + 9) π V = (19/2) π
Ответ: объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте, равен (19/2) * π.